Иван Ремизов, старший научный сотрудник Института прикладной математики им. К.А. Иванова НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде и Института проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН, представил инновационный метод решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, ранее считавшихся неразрешимыми в рамках аналитических формул. Эти уравнения занимают центральное место в математической физике, восходя к классическим трудам Жозефа Лиувилля XIX века, который доказал невозможность их выражения через элементарные функции, что стало фундаментальным ограничением для аналитических подходов.
Ремизов предложил принципиально новый подход, не противоречащий теоремам Лиувилля, но значительно расширяющий возможности аналитического и численного исследования данной категории уравнений. В основе метода лежит использование предельного перехода и современных операторных методов. Этот подход позволяет декомпозировать эволюцию системы на последовательные элементарные шаги, которые описываются операторными полугруппами. В отличие от традиционных методов, сосредоточенных на поиске точных решений, Ремизов разработал стратегию построения приближённых решений, основанную на предельном переходе. Это позволило ему получить явную формулу для решения уравнения ( ay'' + by' + cy = g ), в которую можно подставить коэффициенты ( a ), ( b ), ( c ) и ( g ), обеспечивая возможность получения сколь угодно точных приближений функции ( y(x) ).
На базе полученных приближений Ремизов разработал формулу для резольвенты дифференциального оператора, выражаемую через коэффициенты уравнения. Для дальнейшего анализа он применил интегральное преобразование Лапласа, что позволило оценить скорость сходимости приближений к точному решению. Результаты исследования, совместно с коллегой Олегом Галкиным, были опубликованы в журнале Israel Journal of Mathematics в 2025 году, что свидетельствует о их высокой научной значимости и актуальности.
Ремизов охарактеризовал свою работу следующим образом: «Представьте решение уравнения как большую картину. Рассмотреть её целиком сложно. Математика успешно описывает процессы, развивающиеся во времени. В результате была доказана теорема, позволяющая «нарезать» этот процесс на множество простых кадров, а затем с помощью преобразования Лапласа собрать из них единую статичную картину — решение сложного уравнения, или резольвенту. Проще говоря, вместо того чтобы гадать, как выглядит картина, теорема позволяет восстановить её облик, быстро прокручивая «киноленту» её создания».
Публикации Ремизова в престижных математических журналах подтверждают фундаментальный вклад в развитие теории дифференциальных уравнений и открывают новые перспективы для аналитических и численных методов решения сложных задач математической физики.